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{div {@ style="display:none;"}
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{define _t (t) °° return '{span {@ style="font:bold 1.0em arial; border-top:3px solid red;"}t}'; °°}

{define int () °°
   var args = [].slice.call(arguments);
   var start = args[0];
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   var one = '{span {@ style="font-size:2.0em; vertical-align:-10px; margin-left:  0px;"}∫}';
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°°}
}

_h1 shell

{center {show {@ src="http://marty.alain.free.fr/pFwiki/data/tears_20111211.jpg" height="250" width="600" title="A shell made of 8 pS44 patches twisted in a deformation box, a pVolume pV223."}}}
_p Here are shown some abstracts from an ancient document [[Reflexions sur les coques|http://marty.alain.free.fr/recherche/articles/coques.pdf]] hand-written in 1969 as a student final work and rewritten in 1991 on AppleWorks. 
_p MathML doesn't work fine in every browsers, see [[mathML]]. Meanwhile, it's possible to use pure λ-talk for writing rather good and readable math expressions. In this page, the math expressions use exclusively lambdatalk basic fonctions. The code is short and so, easy to write and to read ; and it's nothing but standard λ-talk syntax ! Analyzing the page's code shows the compacity of the expressions, compared to the equivalent much more verbose in [[mathML]]. 
_p The math symbols for vectors, tensors and integrals are built with the help of 3 utility functions written and tuned up in the page :

{pre °°
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{define int (start end) ••
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••}
°°}

{div {@ style="border:1px dashed red; padding:10px; background:#ffe; font:normal 1.0em arial;"}
''[...]''

_h5 B) EQUATIONS GENERALES DES COQUES MINCES

_h6 01) Exposé du problème
_p Soit une coque mince caractérisée par sa surface moyenne {b S}{sup 2} d'équation :
_ul50 {_v OM} = {_v r}(x{sup 1},x{sup 2}),
_p {_v r} possédant des dérivées première et seconde continues. On rapporte la portion d’espace euclidien {b S}{sup 3} entourant {b S}{sup 2} au système de co- ordonnées x{sup 1},x{sup 2},x{sup 3} tel qu’un point {_v P} de cette portion d’espace soit défini par :
_ul50 {_v OP} = {_v r}(x{sup 1},x{sup 2}) + x{sup 3}.{_v n}(x{sup 1},x{sup 2}),
_p {_v n} étant le vecteur normal unitaire au point {_v M}(x{sup 1},x{sup 2}). Les deux surfaces parallèles limitant la coque (intrados et extrados), sont : 
_ul50 {_v OP} = {_v r}(x1,x2) ± ε.{_v n}(x{sup 1},x{sup 2}), 
_p ε étant la demi-épaisseur de la coque.

_p Il s’agit de ramener le problème tridimensionnel défini par les équations d’équilibre (les relations contrainte-déformation-déplacement), à un problème à deux dimensions, et d'étudier ce qui se passe quand ε -> 0. Disons tout de suite que le problème est théoriquement insoluble : les solutions trouvées ne convergent vers aucune limite et des approximations seront nécessaires pour pouvoir éliminer les difficultés. Nous utiliserons la méthode trouvée dans l’article de Chevallier Prunieras pour transformer les équations. Nous étudierons le passage de l’espace euclidien dans lequel est plongé {b S} à la variété riemanienne que constitue {b S} ; nous dégagerons ensuite les règles de calcul différentiel absolu sur cette variété et formulerons en notations tensorielles les résultats classiques de la théorie des surfaces, et nous appliquerons enfin les résultats précédents au problème mécanique.

_h6 02)	Système de coordonnées normales dans {b S}{sup 3}
_p On appellera système de coordonnées normales un système x{sup 1},x{sup 2},x{sup 3} tel que la métrique de l’espace {b S}{sup 3} soit définie par la forme quadratique : 
_ul50 {b ds}{sup 2} = {_t g}{sub ij}dx{sup i}dx{sup j} + dx{sup 3}dx{sup 3}	pour i,j = 1,2.
_p Cette métrique reste invariante dans un changement de coordonnées défini par :	
_ul50 x{sup i} = φ{sup i}(y{sup 1},y{sup 2}) et x{sup 3} = y{sup 3}.

_h6 03) Relations entre les grandeurs géométriques de {b S}{sup 3} et de {b S}{sup 2}
_p Les grandeurs géométriques fondamentales sont le tenseur métrique, les symboles de connexion ou symboles de Christoffel faisant intervenir ses dérivées premières et le tenseur de Riemann-Christoffel faisant intervenir ses dérivées secondes. Les grandeurs géométriques de S 3 seront écrites en gras, celles de S 2 étant en caractères normaux. Par la définition ci-dessus des gij, les relations s’écrivent :

_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50

_p On posera : ωij = 1/2 ∂3gij
_p Relations entre les symboles de Christoffel définis par :

_ul50 
_ul50 
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_ul50 
_ul50

_p Relations entre les tenseurs de Riemann-Christoffhel définis par :

_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50

_h6 04) Calcul différentiel absolu dans {b S}{sup 2}

_p Les résultats que nous allons donner sont invariants dans les changements
de coordonnées laissant la métrique invariante. On démontre qu’on peut créer des champs tensoriels de S2 à partir de champs tensoriels de S2. Par exemple, d’un tenseur Tij de l’espace S 3 , on peut extraire:

_ul50 
_ul50 
_ul50

_p Pour ne pas multiplier les définitions en cascade, on conservera par la suite les écritures de S3 , par exemple Ti3 et T33 pour ui et w. 
_p Relations entre les dérivées covariantes d’un vecteur vi définies par:

_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50

_p Relations entre les divergences d’un tenseur du second ordre nij définies par:

_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50

_p Ces dernières relations sont fondamentales pour l’écriture des équations d’équilibre des coques minces.

_h6 05) Formulation des résultats de la théorie des surfaces

_ul50 
_ul50 
_ul50 
_ul50

_h6 06) Equations d'équilibre dans {b S}{sup 3}
_p On est amené à réécrire les équations élastiques définies plus haut afin d’introduire le tenseur des moments, et arriver à des expressions plus connues en résistance des matériaux. Soit un corps en équilibre de volume {b V} et contenu dans une surface {b S} ; les relations entre les forces extérieures {_v F}, le tenseur des contraintes {_t N} et le tenseur des moments {_t M} en un point {_v P} s’obtiennent en annulant le torseur des forces en présence :

_ul50 {int V .}{_v F}dv + {int S .}{_t N}ds = 0
_ul50 {int V .} {_v P}×{_v F}dv + {int V .} {_v P}×{_t N}dv + {int S .} {_t M}ds = 0

_p en appliquant le theorème d’Ostrogradsky, il vient :

_ul50 {int V .}({_v F} + div {_t N})dv = 0
_ul50 {int V .} ({_v P}×{_v F} + grad{_v P}×{_t N} + {_v P}×div{_t N} + div{_t M})dv= 0

_p relations valables en tout point, soit :

_ul50 {_v F} + div{_t N} = 0
_ul50 grad{_v P}×{_t N} + div{_t M} = 0

_p Rapporté au repère local {b e}{sub i} et en définissant :

_ul50 {_v F} = {_v f}{sup i}{_v e}{sub j}
_ul50 {_t N} = {_t n}{sup ij}{_v e}{sub j}
_ul50 {_t M} = {_t m}{sup ij}{_v e}{sub j}
_ul50 avec i,j = 1,2,3 et {_t η}{sup i}{sub jk} tel que {_t η}{sup i}{sub jk}.{_v e}{sub j} = {_v e}{sub j}×{_v e}{sub k}

_p les 6 équations générales de l’équilibre s’écrivent alors :

_ul50 {b ∇}{sub j}{_t N}{sup ij} + {_v F}{sup i} = 0 avec  i,j = 1,2,3
_ul50 {_t ω}{sub ij}{_t N}{sup ij} + {_v P} = 0

_h6 07) Equations d'équilibre dans {b S}{sup 2}
_p Ayant ainsi réécrit, en ajoutant le tenseur moment, les équations d’équilibre
dans le cas tridimensionnel, on peut maintenant transformer ce système en un systè- me bidimensionnel. On décomposera le système en utilisant les méthodes dèjà utili- sées plus haut. En particulier, on utilisera la décomposition trouvée pour la divergen- ce d’un tenseur du second ordre.
_p Les deux groupes d’équations se décomposent en quatre équations relatives
à ce qui se passe dans les surfaces parallèles à {b S}{sup 2} et en deux équations relatives à
ce qui se passe sur les normales à {b S}{sup 2}. Il vient :

_ul50 ∇jnij + ωjj ni3 + ωji n3j + ∂3 ni3 + ωji nj3 + fi = 0 
_ul50 ∇jn3j + ωjj n33 + ∂3 n33 - ωij nij +	f3 = 0 
_ul50 ∇jmij + ωjj mi3 + ωji m3j + ∂3 mi3 + ωji mj3 + ηik3 nk3 + ηik3 n3k = 0 
_ul50 ∇jm3j + ωjj m33 + ∂3 m33 - ωij mij + η3ik nik = 0

_p Aucune hypothèse, autre que la régularité des Ω{sub i}{sup j}, n’a été faite jusqu’à présent ni sur la forme de la surface ni sur la nature des tenseurs nij et mij. Le système d’équations ci-dessus a la même généralité que les équations de l’équilibre dont elles sont issues, et est valable en chaque point P de l’espace entourant la surface. On va maintenant faire un cetain nombre d’hypothèses permettant de simpli- fier considérablement les système.

_h6 08) Equations d'équilibre des coques minces
_p En supposant l'épaisseur de la coque faible :
_ol on négligera les variations des {_t g}{sup ij}, {_t ω}{sup ij}, et {b Γ}{sup ij} et on les prendra égaux aux valeurs sur la surface moyenne {b S}{sup 2} ;
_ol on négligera les composantes {_t n}{sup 33} ;
_ol on intègrera le groupe d'équations sur l'épaisseur {b 2ε} de la coque. Cela reviendra à prendre le flux des contraintes dans l'épaisseur de la surface et les composantes {_t n}{sup i3} orthogonales à la surface moyenne disparaîtront, leur flux suivant l'épaisseur étant nul.
_p En définissant les moyennes, avec i,j = 1,2 :

_ul50 {_v F}{sup i} = {int -ε +ε}{_v f}{sup i} dx{sup 3}
_ul50 {_v P} = {int -ε +ε}{_v f}{sup 3} dx{sup 3}
_ul50 {_t N}{sup ij} = {int -ε +ε}{_t η}{sup ij} dx{sup 3}
_ul50 {_t M}{sup ik}.{_t η}{sup j}{sub k} = {int -ε +ε}{_t m}{sup ij} dx{sup 3}
_ul50 {_v Q}{sup i} = {int -ε +ε}{_t n}{sup 3i} dx{sup 3}

_p on obtient les équations d'équilibre des coques minces :

_ul50 {b ∇}{sub i}{_t N}{sup ij} + {_t ω}{sub i}{sup j}{_v Q}{sup i} + {_v F}{sup i} = 0
_ul50 {b ∇}{sub i}{_v Q}{sup i} - {_t ω}{sub ij}{_t N}{sup ij} + {_v P} = 0
_ul50 {b ∇}{sub  j}{_t M}{sup ij} + {_v Q}{sup i} = 0
_ul50 {_t η}{sup 3}{sub ij}{_t N}{sup ij} - {_t η}{sup j}{sub 3k}{_t ω}{sub ij}{_t M}{sup ik} = 0

_p En annulant les moments et les efforts tranchants, on obtient les équations d'équilibre des voiles minces :
{div {@ background:#eee; padding:5px;}
_ol50 {b ∇}{sub j}{_t N}{sup ij} + {_v F}{sup i} = 0
_ol50 - ω{sub ij}{_t N}{sup ij} + {_v P} = 0 avec i,j = 1,2
}
_p Ce système comporte 3 équations et 3 inconnues, il est isostatique. Les conditions aux limites s’expriment en écrivant en chaque point de la ligne limitant la surface l’équilibre entre la force extérieure tangentielle appliquée par unité de longueur {b f}{sup i} et la composante sur la normale {b n}{sup i} du tenseur des contraintes {b N}{sup ij} soit :

_ul50 {_v n}{sup j}.{_t N}{sup i}{sub j} + {_v f}{sup i} = 0

_p {b Note 1} : Il existe une nette dissymétrie entre les deux premières équations et la troisième : les deux premières ne mettent en jeu que le le premier des deux champs tensoriels caractérisant la surface, à savoir les {_t g}{sub ij}. La troisième ne met en jeu que le second champ tensoriel {_t ω}{sub ij}. Cette dernière équation contient les composantes du tenseur des tensions sous forme finie tandis que les deux premières font intervenir les dérivées premières de ces mêmes composantes. Les deux premières équations considérées sans la troisième forment un système différentiel dans une variété riemanienne ; la troisième {i ferme} le système en exprimant que cette variété est plongée dans l’espace ambiant euclidien. Il est intéressant de voir sur cet exemple l’utilité pratique des recherches effectuées en mathématiques sur les équations aux dérivées partielles dans des variétés non euclidiennes. Le formalisme tensoriel permet de rattacher le problème des voiles minces aux problèmes de base bien connus de la physique mathématique.

_p {b Note 2} : Considérons le problème du voile mince dans le sens inverse. Dans les premières équations, nous pouvons constater une dualité entre les {_t g}{sub ij} et les {_t N}{sub ij}, et dans la dernière une dualité entre les {_t ω}{sub ij} et les {_t N}{sub ij}. Dans le voile mince, si l’on considère la surface comme une donnée, on obtient certaines conditions de rive nécessaires. Si au contraire on se donne l’état de tension arbitrairement, on obtient les conditions pour les {_t g}{sub ij} et les {_t ω}{sub ij}, c’est à dire pour la forme de la surface. On détermine ainsi la surface à partir de l’état de charge et des contraintes qu’on accepte dans le voile: {b c’est le problème funiculaire généralisé} : les inconnues principales sont {_t g}{sub ij}, les données sont les {_t T}{sub ij}. C’est le problème posé en relativité générale où il s’agit de déterminer la forme (courbure) de l’espace en fonction du tenseur énergie-impulsion.

_h6 09) Coefficients d'élasticité
''[...]''
_h6 10) Tenseur des déformations
''[...]''
_h6 11) Equations générales des coques minces

''[...]''
}